Conjunto de los números enteros (Z)

 

Los números enteros son el conjunto de números formados por los números naturales (números positivos), el cero (número que no es positivo ni negativo, es decir, neutro) y los números negativos (números menores que cero y tienen un signo menos delante). El conjunto de los números enteros se denota o simboliza con la letra Z en mayúscula.

Los números naturales, simbolizados con la letra N en mayúscula son también números enteros, pero todos los números enteros no son números naturales, esto se debe a que los números naturales son sólo los positivos (1, 2, 3, 4, 5…) incluido el cero. A los números naturales no es necesario colocarles el signo más (+) delante, se asume que al no poseer ningún signo, entonces el número es positivo y por consiguiente un numero natural perteneciente al conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros se representa de la siguiente manera:

Z= {…,-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+ 2,+ 3,+ 4,+ 5…}

Los puntos suspensivos significan que los números siguen hacia el infinito, tanto en la parte negativa o en la parte positiva, siendo el cero la separación entre ellos.

El conjunto de los números enteros se puede dividir en subconjuntos; llamados subconjuntos notables de Z, los cuales son:

·         Conjunto de los números enteros positivos: Se representan con Z⁺ y sus elementos son todos los números naturales distintos de cero, es decir, los números positivos menos el cero.

Z⁺ = {+1,+2,+3,+4,+5…} = {1, 2, 3, 4, 5…}

·         Conjunto de los números enteros negativos: Se representan con Z^- y sus elementos se obtienen al asignar a cada número natural su opuesto, es decir, al 1 se asigna el -1, al 2 se le asigna el -2, al 3 se le asigna el -3 y así sucesivamente. El conjunto de los números enteros negativos no incluye el número cero.

Z^-- = {…,-5, -4, -3, -2, -1}

·         Conjunto de los números enteros diferentes de cero: Se representa con Z* y contiene el conjunto de los números enteros positivos y negativos. Este conjunto no incluye el cero ya que no es ni positivo ni negativo.

Z* = {…,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5…} 

¿En qué se utilizan los números enteros?

En las siguientes situaciones se observan algunos de los usos que se le puede dar a los tipos de números del conjunto Z:

ü  El águila arpía hace sus nidos a unos 40 metros de altura.

ü  La temperatura en el Pico Bolívar, en el estado Mérida, puede llegar a ser de 5 °C bajo cero, es decir, de -5 °C.

ü  La ciudad de San Felipe, capital del estado Yaracuy, se encuentra a 1176 Km de Tucupita, en el estado Delta Amacuro.

ü  Decir que se tiene una deuda de BS. 1.896.412 es igual a decir que se tiene -1.896.412 bolívares.

ü  El salto Ángel es la caída de agua más alta del mundo y mide 979 metros.

Ejemplo 1: Completa el siguiente cuadro con los símbolos ∈ (pertenece) o ∉ (no pertenece) según corresponda.

Solución:

ü  El número -2 pertenece al conjunto de los números enteros negativos (Z^--) pero también al conjunto de los números enteros diferentes de cero (Z^*) según lo estudiado.

ü  El número 0 no pertenece a ninguno de los conjuntos marcados en la tabla ya que no es positivo ni negativo.

ü  El número 25 pertenece al conjunto de los números enteros positivos (Z⁺) pero también de los números enteros diferentes de cero (Z^*) según lo estudiado.

ü  El número -10000 pertenece al conjunto de los números enteros negativos (Z^--) pero también al conjunto de los números enteros diferentes de cero (Z^*) según lo estudiado.

ü  El conjunto {−1, −2, −3, −4,} por ser todos negativos pertenecen al conjunto de los números enteros negativos (Z^--) pero también al conjunto de los números enteros diferentes de cero () según lo estudiado, ya que no existe el 0 dentro de tal conjunto.

ü  El conjunto {6, 11, 8} por ser todos positivos pertenece al conjunto de los números enteros positivos (Z⁺) pero también de los números enteros diferentes de cero (Z^*) según lo estudiado, ya que no existe el 0 dentro de tal conjunto.

ü  El número 11 pertenece al conjunto de los números enteros positivos (Z⁺) pero también de los números enteros diferentes de cero (Z^*) según lo estudiado.

Representación gráfica de los números enteros

Los números enteros se pueden representar gráficamente en una recta numérica. Se representan números en la recta numérica en situaciones como las que es necesario ubicar temperaturas, profundidades, objetos y seres vivos con respecto a un punto de referencia.

Ejemplo 2: En un pueblo de Mérida la temperatura varió de 10 °C sobre cero, a 2 °C bajo cero en una semana. ¿Cómo se pueden representar estas temperaturas en la recta numérica?

1.       Se representan las temperaturas con números enteros.

10 °C sobre cero es igual a escribir +10

2 °C bajo cero es igual a escribir -2

2.      Se traza la recta numérica, se destaca el número 0 en el centro de la recta y se divide la recta en segmentos de igual medida a la derecha y la izquierda del 0.

3.      Se ubican en la derecha del 0 los enteros positivos y a la izquierda los negativos.

4.      Se representa el entero -2. Para ello, se cuentan dos segmentos a la izquierda del 0 y se marca un punto.

5.      Se representa el entero 10. Para ello, se cuentan diez segmentos a la derecha del 0 y se marca un punto.

Cada número ubicado a la derecha o izquierda del 0 se encuentra a igual distancia que su opuesto ubicado a la izquierda o derecha. De esta manera, 3 está a la misma distancia que -3 con respecto al 0.

Lic. José Madueño

Licenciado en educación mención matemática y física

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