Números
irracionales (I)
Observemos
los siguientes números:
·
0,4307890111276…
·
1,001270764295…
·
3,14159…
·
2,718281828459…
Si
los observamos podemos notar una característica muy evidente; no poseen
periodo, es decir, no poseen una cantidad decimal que se repita
indefinidamente. Estos números en particular son infinitos pero no poseen
periodo, por lo tanto no se pueden expresar como un cociente, es decir, no se
pueden expresar como una fracción, para ser mas explícitos, no podemos
determinar de ellos la fracción generatriz; son expresiones decimales no
periódicas, las cuales no pertenecen al conjunto de los números racionales (Q).
Esta
limitación nos obliga a ampliar el campo de los números racionales, dando lugar
al conjunto de los números irracionales (I), es decir, los números que no
poseen periodo, tienen una parte decimal infinito y que no se pueden expresar
como una fracción.
“El conjunto de los números irracionales es
el formado por los decimales infinitos no periódicos. Los números irracionales
se denotan o simbolizan con la letra I”
Los
números irracionales (I) más famosos son los siguientes:
·
Pi: es un número
irracional famoso y se simboliza como ∏. Se han calculado más de un millón de
cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
∏= 3,1415926535897932384626433832795
(y sigue...)
·
El número e (el número de Euler): es otro número irracional famoso y se simboliza con la
letra e. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún
patrón. Los primeros decimales son:
e= 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
·
La razón de oro (phi):
es un número irracional y se simboliza como φ. Sus
primeros dígitos son:
φ=1,61803398874989484820... (Y más...)
·
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc.)
√99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc.)
Pero
√4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
Conjunto
de los números reales (R)
A la unión del conjunto I de
los números irracionales con el conjunto Q de los números racionales se le
llama conjunto de los números reales, y se denota o simboliza con la letra R.
en notación o simbología de conjunto, R=QυI
En otras palabras, un número
real es aquel que se puede representar mediante una expresión decimal, ya sea
ésta limitada, ilimitada periódica o ilimitada no periódica. Observa el
siguiente diagrama:
Todo numero natural (N) es un
numero entero (Z), todo número entero es un numero racional (Q) y todo numero
racional es un número real (R). Se puede escribir entonces: N⊂Z⊂Q⊂R
El conjunto I no tiene
elementos comunes con Q. por lo tanto, la intersección de ambos conjuntos es el
conjunto vacío, lo cual en símbolos se expresa así: Q∩I=Ø
Pero el conjunto I es subconjunto de R, es
decir, I⊂R.
Los subconjuntos notables de R
son:
·
R*: R- {0} (Todos los números reales
menos el cero).
·
R+: números reales positivos
incluyendo el cero.
·
R-: números reales negativos
incluyendo el cero.
Ejemplo
1: Completa la siguiente tabla con el signo ∈ o ∉ según sea cada caso.
Justifica tu respuesta.
Solución:
a) -12/3= -4.
Este es un entero positivo, por lo tanto pertenece a Z. Debido a que Z⊂Q, entonces
también pertenece a Q, como es un número negativo no pertenece a N y por ser un
número entero (Z) y racional (Q) ya que Z⊂Q⊂R entonces también es un número R. como es un
número racional no puede ser irracional.
b) 0,004= 1/225. Como es una expresión decimal
ilimitada periódica mixta le corresponde una fracción generatriz, es decir, un
numero racional; y como Q⊂R, entonces también es pertenece a los reales
R. como es una expresión decimal, no es un número natural, ni entero y como es
racional no es irracional.
c) 7,0843189…
Como es una expresión decimal ilimitada no periódica entonces no es natural, ni
entero y ni racional. Por lo tanto es irracional y como I⊂R, entonces
pertenece a los reales R.
Para recordar:
Aproximaciones
por defecto y por exceso en R
Cuando una aproximación es menor que el valor
real del número, se dice que es una aproximación por defecto; y cuando es mayor
al número real, se dice que es una aproximación por exceso.
Si la aproximación es por defecto se dejan los
decimales tal cual están, si la aproximación es por exceso se le suma uno (1)
al último decimal indicado o solicitado.
Ejemplo 2: En cada uno de los siguientes casos escribe la aproximación
racional con el número de cifras decimal indicado del número real dado:
Solución:
En la
primera fila tenemos el número real 5,580823, al hacer la aproximación por
defecto hasta la primera cifra decimal (decima) quedaría como 5,5; al hacerlo
hasta la segunda cifra decimal (centésima) quedaría como 5,58 y al hacerla hasta la
tercera cifra decimal (milésima) quedaría como 5,580, esto nos indica que
cuando la aproximación es por defecto no se alteran los decimales. En el caso
de la aproximación por exceso hasta la primera cifra decimal se le debe sumas
uno a la primera cifra decimal (decima) quedando 5,6; en el caso de la
aproximación por exceso a la segunda cifra decimal quedaría 5,59 al sumarle uno
a la segunda cifra decimal (centésima) y por último al aproximar a la tercera
cifra decimal (milésima) quedaría como 5,581 porque se le suma uno a la tercera
cifra decimal. De esta manera se procede a hacer con cada número real de las
siguientes filas.
Licenciado José Madueño
Educación mención matemática y física
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