Estudio de la función exponencial

 


Estudio de la función exponencial

Una función exponencial es una función de la forma y = f(x) = a^x, donde a es un número real positivo distinto de 1. De acuerdo a esto podemos escribir en símbolos lo siguiente:

“Una función de la forma y = f(x) = a^x, donde a > 0 y a≠1, es una función exponencial, donde a es la base de la función exponencial.”

Son ejemplos de funciones exponenciales: y=2^x, y=5^x, y= (1/2)^ x, y= (1/5)^ x

Debemos hacer notar que si a=1, entonces a^x se transforma en 1^x=1 y se tendría una función constante. Es ésta, la razón por la cual se impone en la definición que a≠1.

NOTA: El símbolo ^ significa elevado.

¿Cómo graficar una función exponencial?

Para graficar una función exponencial se toman valores para X, determinando los correspondientes valores de Y o f(x), para finalmente localizar los puntos sobre un eje de coordenadas.

Ejemplo 1: Graficar la función exponencial y=2^x.

Nótese que a>1. Tomamos valores para X los cuales pueden ser: 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3

Los organizamos en una tabla de la siguiente manera:

Solución:

Comenzamos a sustituir los valores de X en la función y=2^x para obtener los valores de Y, esto se hace desarrollando las operaciones de la siguiente manera:

Una vez completada la tabla de la siguiente manera:

Procedemos a graficar cada uno de los valores o puntos de la tabla, lo cual nos quedará de la siguiente manera:

De la gráfica podemos observar varios aspectos:

·         Cuando X aumenta (X -> + ∞) los valores de Y aumentan con rapidez, mientras que cuando los valores de X disminuyen (X -> - ∞) los valores de Y se acercan cada vez más a 0. En este caso se dice que el eje X es una asíntota horizontal. La función es creciente.

·         No existen intersecciones con el eje X porque a^x ≠0 para cualquier valor de X.

·         La intersección con el eje Y es el punto (0,1) ya que a^0=1.

·         Como X puede ser cualquier número real, el dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales. Dom f= (- ∞,+ ∞)=R.

·         La base de una función exponencial es siempre positiva. Esto nos indica que el valor que adquiere Y o f(x) es siempre positivo, indicando que el rango es el conjunto de los números reales positivos. Rgo f= (0,+ ∞)=R+

·         Esta gráfica está exhibiendo un crecimiento exponencial.

Ejemplo 2: Graficar la función exponencial y= (1/2)^x.

Nótese que 0<a<1. Tomamos valores para X los cuales pueden ser: 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3

Los organizamos en una tabla de la siguiente manera:

Solución:

Comenzamos a sustituir los valores de X en la función y= (1/2)^x para obtener los valores de Y, esto se hace desarrollando las operaciones de la siguiente manera:

Una vez completada la tabla de la siguiente manera:

Procedemos a graficar cada uno de los valores o puntos de la tabla, lo cual nos quedará de la siguiente manera:

En la función podemos observar que:

·         Dom f= R= (- ∞, + ∞)

·         Rgo f= R+ = (0, + ∞)

·         Cuando X tiende a +∞ los valores de Y se acercan cada vez más a 0. Función decreciente.

·         Cuando X tiende a - ∞ los valores de Y aumentan con rapidez.

·         En ambos casos la gráfica cumple con el criterio de la recta horizontal, es decir, toda recta que corta a la gráfica en un solo punto es biyectiva. Por lo tanto la función exponencial es biyectiva lo cual sugiere que tiene una función inversa.

·         La gráfica muestra un crecimiento exponencial.

Propiedades de las funciones exponenciales

·         El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.

·         El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos.

·         La gráfica de y=a^x muestra un crecimiento exponencial si a>1. Función creciente.

·         La grafica de y=a^x muestra un decrecimiento exponencial si 0<a<1. Función decreciente.

·         La intersección con el eje Y es 1, no existe intersección con el eje X.

·         El eje X es una asíntota horizontal.

·         A mayor valor de a, mayor será la rapidez con que crece la función.

·         La grafica de cualquier función exponencial pasa por los puntos (0,1) porque a^0 = 1.

·         Por ser a^1 = a, la gráfica pasará siempre por el punto (1, a).

·         Es inyectiva y sobreyectiva, razón por la cual es biyectiva.

El número e

El número e, al igual que el irracional es también un número irracional, el cual es usado frecuentemente para expresar una función exponencial muy especial llamada función exponencial natural.

Esta función natural queda definida así:

F(x)= e^x  donde  e ≈ 2,71828182…

Como e es un número comprendido entre 2 y 3, la gráfica de y=e^x también muestra un crecimiento exponencial.

La grafica de y=e^x está ubicada entre las gráficas de y=2^x y y=3^x, tal como lo está mostrando la siguiente gráfica:

Licenciado José Madueño

Educación mención matemática y física

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