Estudio de la función exponencial

Estudio de la función exponencial

Una función exponencial es una función de la forma y = f(x) = a^^x, donde a es un número real positivo distinto de 1. De acuerdo a esto podemos escribir en símbolos lo siguiente:

“Una función de la forma y = f(x) = a^^x, donde a > 0 y a≠1, es una función exponencial, donde a es la base de la función exponencial.”

Son ejemplos de funciones exponenciales: y=2^^x, y=5^^x, y= (1/2)^^x, y= (1/5)^^x

Debemos hacer notar que si a=1, entonces a^^x se transforma en 1^^x=1 y se tendría una función constante. Es ésta, la razón por la cual se impone en la definición que a≠1.

NOTA: El símbolo ^ significa elevado.

¿Cómo graficar una función exponencial?

Para graficar una función exponencial se toman valores para X, determinando los correspondientes valores de Y o f(x), para finalmente localizar los puntos sobre un eje de coordenadas.

Ejemplo 1: Graficar la función exponencial y=2^^x.

Nótese que a>1. Tomamos valores para X los cuales pueden ser: 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3

Los organizamos en una tabla de la siguiente manera:

Solución:

Comenzamos a sustituir los valores de X en la función y=2^x para obtener los valores de Y, esto se hace desarrollando las operaciones de la siguiente manera:

Una vez completada la tabla de la siguiente manera:

Procedemos a graficar cada uno de los valores o puntos de la tabla, lo cual nos quedará de la siguiente manera:

De la gráfica podemos observar varios aspectos:

· Cuando X aumenta (X -> + ∞) los valores de Y aumentan con rapidez, mientras que cuando los valores de X disminuyen (X -> - ∞) los valores de Y se acercan cada vez más a 0. En este caso se dice que el eje X es una asíntota horizontal. La función es creciente.

· No existen intersecciones con el eje X porque a^^x ≠0 para cualquier valor de X.

· La intersección con el eje Y es el punto (0,1) ya que a^⁰=1.

· Como X puede ser cualquier número real, el dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales. Dom f= (- ∞,+ ∞)=R.

· La base de una función exponencial es siempre positiva. Esto nos indica que el valor que adquiere Y o f(x) es siempre positivo, indicando que el rango es el conjunto de los números reales positivos. Rgo f= (0,+ ∞)=R⁺

· Esta gráfica está exhibiendo un crecimiento exponencial.

Ejemplo 2: Graficar la función exponencial y= (1/2)^^x.

Nótese que 0<a<1. Tomamos valores para X los cuales pueden ser: 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3

Los organizamos en una tabla de la siguiente manera:

Solución:

Comenzamos a sustituir los valores de X en la función y= (1/2)^^x para obtener los valores de Y, esto se hace desarrollando las operaciones de la siguiente manera:

Una vez completada la tabla de la siguiente manera:

Procedemos a graficar cada uno de los valores o puntos de la tabla, lo cual nos quedará de la siguiente manera:

En la función podemos observar que:

· Dom f= R= (- ∞, + ∞)

· Rgo f= R⁺ = (0, + ∞)

· Cuando X tiende a +∞ los valores de Y se acercan cada vez más a 0. Función decreciente.

· Cuando X tiende a - ∞ los valores de Y aumentan con rapidez.

· En ambos casos la gráfica cumple con el criterio de la recta horizontal, es decir, toda recta que corta a la gráfica en un solo punto es biyectiva. Por lo tanto la función exponencial es biyectiva lo cual sugiere que tiene una función inversa.

· La gráfica muestra un crecimiento exponencial.

Propiedades de las funciones exponenciales

· El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.

· El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos.

· La gráfica de y=a^^x muestra un crecimiento exponencial si a>1. Función creciente.

· La grafica de y=a^^xmuestra un decrecimiento exponencial si 0<a<1. Función decreciente.

· La intersección con el eje Y es 1, no existe intersección con el eje X.

· El eje X es una asíntota horizontal.

· A mayor valor de a, mayor será la rapidez con que crece la función.

· La grafica de cualquier función exponencial pasa por los puntos (0,1) porque a^⁰ = 1.

· Por ser a^¹ = a, la gráfica pasará siempre por el punto (1, a).

· Es inyectiva y sobreyectiva, razón por la cual es biyectiva.

El número e

El número e, al igual que el irracional ∏ es también un número irracional, el cual es usado frecuentemente para expresar una función exponencial muy especial llamada función exponencial natural.

Esta función natural queda definida así:

F(x)= e^^x donde e ≈ 2,71828182…

Como e es un número comprendido entre 2 y 3, la gráfica de y=e^^x también muestra un crecimiento exponencial.

La grafica de y=e^^x está ubicada entre las gráficas de y=2^^x y y=3^^x, tal como lo está mostrando la siguiente gráfica: