Estudio
de la función exponencial
Una
función exponencial es una función de la forma y = f(x) = a^x, donde a
es un número real positivo distinto de 1. De acuerdo a esto podemos escribir en
símbolos lo siguiente:
“Una función de la forma y = f(x) = a^x, donde a
> 0 y a≠1, es una función exponencial, donde a es la base de la función
exponencial.”
Son
ejemplos de funciones exponenciales: y=2^x, y=5^x, y= (1/2)^
x, y= (1/5)^ x
Debemos
hacer notar que si a=1, entonces a^x se transforma en 1^x=1
y se tendría una función constante. Es ésta, la razón por la cual se impone en
la definición que a≠1.
NOTA: El símbolo ^ significa elevado.
¿Cómo
graficar una función exponencial?
Para
graficar una función exponencial se toman valores para X, determinando los
correspondientes valores de Y o f(x), para finalmente localizar los puntos
sobre un eje de coordenadas.
Ejemplo 1: Graficar la función exponencial y=2^x.
Nótese
que a>1. Tomamos valores para X los cuales pueden ser: 3, 2, 1, 0, -1, -2,
-3
Los
organizamos en una tabla de la siguiente manera:
Solución:
Comenzamos
a sustituir los valores de X en la función y=2^x para obtener los valores de Y,
esto se hace desarrollando las operaciones de la siguiente manera:
Una
vez completada la tabla de la siguiente manera:
Procedemos
a graficar cada uno de los valores o puntos de la tabla, lo cual nos quedará de
la siguiente manera:
De la
gráfica podemos observar varios aspectos:
·
Cuando X aumenta (X -> +
∞) los valores de Y aumentan con rapidez,
mientras que cuando los valores de X disminuyen (X -> - ∞) los valores de Y se acercan cada vez más
a 0. En este caso se dice que el eje X es una asíntota horizontal. La función
es creciente.
·
No existen
intersecciones con el eje X porque a^x ≠0 para cualquier valor de X.
·
La intersección con el
eje Y es el punto (0,1) ya que a^0=1.
·
Como X puede ser
cualquier número real, el dominio de la función exponencial es el conjunto de
los números reales. Dom f= (- ∞,+ ∞)=R.
·
La base de una función
exponencial es siempre positiva. Esto nos indica que el valor que adquiere Y o
f(x) es siempre positivo, indicando que el rango es el conjunto de los números
reales positivos. Rgo f= (0,+ ∞)=R+
·
Esta gráfica está
exhibiendo un crecimiento exponencial.
Ejemplo 2: Graficar la función exponencial y= (1/2)^x.
Nótese
que 0<a<1. Tomamos valores para X los cuales pueden ser: 3, 2, 1, 0, -1,
-2, -3
Los
organizamos en una tabla de la siguiente manera:
Solución:
Comenzamos a sustituir los valores de X en la función y= (1/2)^x para obtener los valores de Y, esto se hace desarrollando las operaciones de la siguiente manera:
Una
vez completada la tabla de la siguiente manera:
Procedemos
a graficar cada uno de los valores o puntos de la tabla, lo cual nos quedará de
la siguiente manera:
En la
función podemos observar que:
·
Dom f= R= (- ∞, + ∞)
·
Rgo f= R+ = (0, + ∞)
·
Cuando X tiende a +∞ los
valores de Y se acercan cada vez más a 0. Función decreciente.
·
Cuando X tiende a - ∞
los valores de Y aumentan con rapidez.
·
En ambos casos la
gráfica cumple con el criterio de la recta horizontal, es decir, toda recta que
corta a la gráfica en un solo punto es biyectiva. Por lo tanto la función
exponencial es biyectiva lo cual sugiere que tiene una función inversa.
·
La gráfica muestra un
crecimiento exponencial.
Propiedades
de las funciones exponenciales
·
El dominio de la función
exponencial es el conjunto de los números reales.
·
El rango de la función
exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos.
·
La gráfica de y=a^x
muestra un crecimiento exponencial si a>1. Función creciente.
·
La grafica de y=a^x muestra
un decrecimiento exponencial si 0<a<1. Función decreciente.
·
La intersección con el
eje Y es 1, no existe intersección con el eje X.
·
El eje X es una asíntota
horizontal.
·
A mayor valor de a,
mayor será la rapidez con que crece la función.
·
La grafica de cualquier
función exponencial pasa por los puntos (0,1) porque a^0 = 1.
·
Por ser a^1 =
a, la gráfica pasará siempre por el punto (1, a).
·
Es inyectiva y
sobreyectiva, razón por la cual es biyectiva.
El número
e
El número
e, al igual que el irracional ∏ es también un número irracional, el cual es usado
frecuentemente para expresar una función exponencial muy especial llamada función
exponencial natural.
Esta función
natural queda definida así:
F(x)= e^x donde e ≈ 2,71828182…
Como
e es un número comprendido entre 2 y 3, la gráfica de y=e^x también muestra
un crecimiento exponencial.
La grafica
de y=e^x está ubicada entre las gráficas de y=2^x y y=3^x,
tal como lo está mostrando la siguiente gráfica:
Licenciado José Madueño
Educación mención matemática y física
👇👇👇Videos sugeridos👇👇👇
0 Comentarios